כללי גזירה

כל כלל עם הנוסחה, הגרסה עם פונקציה פנימית, ודוגמה עד הסוף.

פולינום – כללי היסוד

מורידים את החזקה למקדם ומחסירים ממנה 1. כל השאר בנוי על זה.

כלל החזקה

(xn)′ = n · xn−1
דוגמה (x5)′ = 5x4 (x)′ = 1
גם חזקות שליליות ושבריות: 1x3 = x−3 → −3x−4

קבוע וכפל בקבוע

(c)′ = 0
(c · f)′ = c · f′
דוגמה (7x3)′ = 7 · 3x2 = 21x2 (12)′ = 0

סכום והפרש

(f ± g)′ = f′ ± g′
דוגמה y = 3x4 − 2x2 + 5x − 9 y′ = 12x3 − 4x + 5
גוזרים כל איבר בנפרד – זה כל הסיפור של גזירת פולינום.

מכפלה ומנה

כששתי פונקציות מוכפלות או מחולקות זו בזו – אי אפשר לגזור כל אחת לחוד.

גזירת מכפלה

(f · g)′ = f′ · g + f · g′
דוגמה y = x2 · sin x y′ = 2x · sin x + x2 · cos x
גוזרים את הראשונה כפול השנייה, ועוד הראשונה כפול הנגזרת של השנייה.

גזירת מנה

( fg )′ = f′ · g − f · g′g2
דוגמה y = x2 + 1x − 3 y′ = 2x(x − 3) − (x2 + 1)(x − 3)2 = x2 − 6x − 1(x − 3)2
הסדר במונה קריטי: מתחילים מהנגזרת של המונה כפול המכנה, ורק אז מחסירים.

פונקציה מורכבת (כלל השרשרת)

פונקציה בתוך פונקציה: גוזרים את החיצונית כרגיל, ומכפילים בנגזרת של הפנימית.

כלל השרשרת

[ f(g(x)) ]′ = f′(g(x)) · g′(x)
בסימון פנימי(un)′ = n · un−1 · u′
דוגמה y = (3x2 − 5)4 y′ = 4(3x2 − 5)3 · 6x = 24x(3x2 − 5)3

איך מזהים

  • יש סוגריים עם חזקה, שורש, sin, ln או e – ובתוכם ביטוי שאינו x לבד.
  • הביטוי שבפנים הוא u, וכל כלל נכתב בגרסת u עם · u′ בסוף.
  • כשהפנימית היא x בלבד – u′ = 1 והכלל חוזר לצורתו הרגילה.
שימו לב (sin 4x)′ = cos 4x · 4 – ולא רק cos 4x.

שורש

שורש הוא חזקת חצי, ולכן הוא בעצם מקרה פרטי של כלל החזקה.

גזירת שורש

(√x)′ = 12√x
עם פונקציה פנימית(√u)′ = u′2√u
דוגמה y = √(x2 + 1) y′ = 2x2√(x2 + 1) = x√(x2 + 1)
אפשר גם דרך חזקות: √x = x0.5 → 0.5x−0.5 – אותה תוצאה.

פונקציות טריגונומטריות

הזווית תמיד ברדיאנים. אם בתוך הפונקציה יש ביטוי – מוסיפים · u′.

סינוס

(sin x)′ = cos x
עם פונקציה פנימית(sin u)′ = cos u · u′
דוגמה y = sin 4x y′ = 4 cos 4x

קוסינוס

(cos x)′ = − sin x
עם פונקציה פנימית(cos u)′ = − sin u · u′
דוגמה y = cos(x2) y′ = −2x · sin(x2)
המינוס הוא הטעות הכי נפוצה כאן – הוא שייך לקוסינוס, לא לסינוס.

טנגנס

(tan x)′ = 1cos2 x
עם פונקציה פנימית(tan u)′ = u′cos2 u
דוגמה y = tan 3x y′ = 3cos2 3x

פונקציית e ולוגריתמים

שתי משפחות הפוכות זו לזו, ולכן גם כללי הגזירה שלהן משלימים.

פונקציית e

(ex)′ = ex
עם פונקציה פנימית(eu)′ = eu · u′
דוגמה y = e5x y′ = 5e5x
ex היא הפונקציה היחידה ששווה לנגזרת של עצמה.

לוגריתם טבעי ln

(ln x)′ = 1x
עם פונקציה פנימית(ln u)′ = u′u
דוגמה y = ln(x2 + 1) y′ = 2xx2 + 1
תחום ההגדרה: מה שבתוך ה-ln חייב להיות חיובי.

פונקציית log ובסיס כללי

(loga x)′ = 1x · ln a
חזקה בבסיס כללי(ax)′ = ax · ln a
דוגמה y = log3 x → y′ = 1x · ln 3 y = 2x → y′ = 2x · ln 2
אפשר גם להמיר לבסיס טבעי: loga x = ln xln a ואז לגזור עם כלל ה-ln.