אינטגרלים | פיני ואייל

כללי יסוד

שלושה כללים שמלווים כל תרגיל, לפני שנוגעים בטבלה.

איבר איבר

∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx

מקדם יוצא החוצה∫k · f dx = k · ∫f dx

אין כלל למכפלה או למנה – מפרקים, מכנסים לצורה מוכרת, ורק אז מבצעים אינטגרל.

+ c

אינטגרל לא מסוים הוא משפחה שלמה של פונקציות, ולכן תמיד מוסיפים + c.
אם נתונה נקודה שהפונקציה עוברת דרכה – מציבים אותה ומוצאים את c.
בדיקה מהירה: גוזרים את התוצאה וצריך לקבל בחזרה את הפונקציה המקורית.

חזקות ושורשים

מעלים את החזקה ב-1 ומחלקים בחזקה החדשה. כשיש ביטוי פנימי ax + b – מחלקים גם ב-a.

∫xⁿ dx

xⁿ⁺¹n + 1 + c

דוגמה ∫x¹⁰ dx = x¹¹11 + c

∫a dx

ax + c

דוגמה ∫4 dx = 4x + c

∫(ax + b)ⁿ dx

(ax + b)ⁿ⁺¹(n + 1) a + c

דוגמה ∫(2x + 1)⁴ dx = (2x + 1)⁵5 · 2 + c

ה-a במכנה הוא הפיצוי על הנגזרת הפנימית – בדיוק ההפך מכלל השרשרת בגזירה.

∫√x dx

2x^3/23 + c

דוגמה ∫5√x dx = 5x^3/23/2 + c = 10x^3/23 + c

כותבים √x = x^1/2 ומפעילים את כלל החזקה כרגיל.

∫√(ax + b) dx

2(ax + b)^3/23a + c

דוגמה ∫√(1 − x) dx = (1 − x)^3/2(3/2) · (−1) + c = 2(1 − x)^3/2−3 + c

פונקציות טריגונומטריות

הפוך לגזירה: הסינוס מקבל מינוס באינטגרל, ולא הקוסינוס.

∫sin(x) dx

−cos(x) + c

דוגמה ∫3sin(x) dx = −3cos(x) + c

∫cos(x) dx

sin(x) + c

דוגמה ∫5cos(x) dx = 5sin(x) + c

∫sin(ax) dx

−cos(ax)a + c

דוגמה ∫sin(4x) dx = −cos(4x)4 + c

∫cos(ax) dx

sin(ax)a + c

דוגמה ∫cos(2x) dx = sin(2x)2 + c

הזווית ברדיאנים, בדיוק כמו בגזירה.

פונקציית e ובסיס כללי

e^x נשארת כמו שהיא, ובכל בסיס אחר מחלקים ב-ln של הבסיס.

∫e^x dx

e^x + c

דוגמה ∫( 5e^x3 ) dx = 5e^x3 + c

דוגמה ∫( e^x4 + ex + e ) dx = e^x4 + ex²2 + ex + c

e לבד הוא מספר (בערך 2.718) ולא פונקציה – מתייחסים אליו כמו לכל קבוע.

∫a^x dx

a^xln(a) + c

דוגמה ∫(8 · 3^x) dx = 8 · 3^xln(3) + c

דוגמה ∫( 4 · 6^x7 ) dx = 4 · 6^x7 ln(6) + c

∫e^mx+n dx

e^mx+nm + c

דוגמה ∫e^4x−2 dx = e^4x−24 + c

דוגמה ∫( 1e^3x ) dx = ∫e^−3x dx = e^−3x−3 + c

שבר עם e במכנה – הופכים למעריך שלילי לפני האינטגרל.

∫a^mx+n dx

a^mx+nm ln(a) + c

דוגמה ∫3^1−x dx = 3^1−x−1 · ln 3 + c

דוגמה ∫( 45^3x+2 ) dx = ∫4 · 5^−3x−2 dx = 4 · 5^−3x−2−3 ln(5) + c