פונקציה קווית

הצורה y = mx + n: מה כל אות עושה, איך קוראים את הגרף, ואיך בונים משוואת ישר מנתונים.

התפקיד של m ו-n

שני מספרים קובעים הכול: אחד את הנטייה, השני את הגובה.

השיפוע

m
  • קובע כמה תלולה הישר וכמה מהר הוא עולה או יורד.
  • על כל צעד אחד ימינה ב-x, ה-y משתנה ב-m.
  • הסימן שלו קובע אם הפונקציה עולה או יורדת.

נקודת החיתוך עם ציר y

n
  • המספר החופשי – הגובה שבו הישר חוצה את ציר ה-y.
  • נקודת החיתוך היא תמיד (0 , n).
  • שינוי ב-n מזיז את הישר למעלה או למטה בלי לשנות את הנטייה.
אם n = 0 הישר עובר דרך ראשית הצירים: y = mx.

עלייה וירידה

הסימן של m קובע לבד את כיוון הפונקציה, בכל התחום.

פונקציה עולה

m > 0
  • ככל ש-x גדל, גם y גדל.
  • הישר עולה משמאל לימין, בכל התחום.

פונקציה יורדת

m < 0
  • ככל ש-x גדל, y קטן.
  • הישר יורד משמאל לימין, בכל התחום.

פונקציה קבועה

m = 0
  • הפונקציה היא y = n – ישר מקביל לציר ה-x.
  • לא עולה ולא יורדת: אותו ערך y לכל x.

חיתוך עם הצירים

על ציר ה-y תמיד x = 0, ועל ציר ה-x תמיד y = 0. מציבים ופותרים.

חיתוך עם ציר y

מציבים x = 0(0 , n)
דוגמה y = 2x − 6 y = 2 · 0 − 6 = −6 → (0 , −6)
בצורה y = mx + n אפשר פשוט לקרוא את n – בלי חישוב.

חיתוך עם ציר x

מציבים y = 0 ופותריםx = −nm
דוגמה 0 = 2x − 6 → x = 3 (3 , 0)
כש-m = 0 אין חיתוך עם ציר ה-x (אלא אם הישר הוא y = 0 בעצמו).

שיפוע לפי שתי נקודות

נתונות A(x1 , y1) ו-B(x2 , y2) – השיפוע הוא היחס בין השינוי האנכי לשינוי האופקי.

נוסחת השיפוע

m = y2 − y1x2 − x1
דוגמה A(1 , 2) , B(5 , 10) m = 10 − 25 − 1 = 84 = 2
אין חשיבות לסדר הנקודות, כל עוד מחסירים באותו סדר במונה ובמכנה.

מה חשוב לשים לב

  • המונה הוא ההפרש ב-y, המכנה ההפרש ב-x – לא להפוך.
  • אם x1 = x2 אין שיפוע: זה ישר אנכי x = a, ואינו פונקציה.
  • אם y1 = y2 השיפוע 0: ישר אופקי.

מציאת משוואת ישר

שתי דרכים, תלוי מה נתון: נקודה ושיפוע, או שתי נקודות.

נקודה ושיפוע

y − y1 = m(x − x1)
דוגמה m = 3 , A(2 , 5) y − 5 = 3(x − 2) y = 3x − 1
אפשר גם להציב את הנקודה ב-y = mx + n ולחלץ את n – אותה תוצאה.

שתי נקודות

שלב 1 – מוצאים שיפועm = y2 − y1x2 − x1
שלב 2 – מציבים נקודה אחתy − y1 = m(x − x1)
דוגמה A(1 , 2) , B(5 , 10) → m = 2 y − 2 = 2(x − 1) y = 2x
בסוף כדאי לבדוק: מציבים את הנקודה השנייה ורואים שהמשוואה מתקיימת.

ישרים מקבילים ומאונכים

הקשר בין שני ישרים נקבע כולו לפי השיפועים שלהם.

ישרים מקבילים

m1 = m2
דוגמה y = 2x + 1 ו-y = 2x − 4 אותו שיפוע, n שונה – לא ייפגשו לעולם.

ישרים מאונכים

m1 · m2 = −1
דוגמה m1 = 2 → m2 = − 12 הופכים את השבר ומשנים את הסימן.

טעויות נפוצות

שלוש טעויות שחוזרות כמעט בכל מבחן – עם התיקון ודוגמה שמראה את ההבדל.

מבלבלים בין n ל-m

✗n הוא החיתוך עם ציר y, ולכן m הוא החיתוך עם ציר x
✓m הוא השיפוע. את החיתוך עם ציר x מוצאים מהצבת y = 0

רק n נקרא ישירות מהמשוואה. החיתוך עם ציר ה-x תמיד דורש פתרון משוואה. y = 2x − 6: החיתוך עם ציר x הוא (3 , 0), לא (2 , 0)

נוסחת השיפוע לא עקבית

✗m = y2 − y1x1 − x2 , m = x2 − x1y2 − y1
✓m = y2 − y1x2 − x1

הפרשי ה-y תמיד במונה, והחיסור בשתי הקומות באותו סדר בדיוק. A(1 , 2) , B(5 , 10): הסדר הנכון נותן m = 2, סדר הפוך במכנה נותן −2 – ישר אחר לגמרי

שולפים שיפוע ממשוואה לא מסודרת

✗y + 2x = 4 → m = 2
✓y = −2x + 4 → m = −2

קוראים את m ו-n רק אחרי שמבודדים את y לגמרי. גם מקדם ל-y משנה: 2y = 6x + 8 → y = 3x + 4, כלומר m = 3 ולא 6