סדרות

סדרה חשבונית וסדרה הנדסית: הגדרה, איבר כללי, איבר אמצעי, נוסחאות סכום, וסכום סדרה הנדסית אינסופית.

סדרה חשבונית

מוסיפים כל פעם את אותו מספר. ההפרש הקבוע נקרא d.

הגדרה

ההפרש בין כל שני איברים עוקבים קבועan+1 − an = d
דוגמה 3 , 8 , 13 , 18 , … d = 5
כדי להוכיח שסדרה חשבונית מראים ש-an+1 − an יוצא מספר קבוע, בלי n.

נוסחת האיבר הכללי

an = a1 + (n − 1) d
דוגמה a1 = 3 , d = 5 a10 = 3 + 9 · 5 = 48
שימו לב ל-(n − 1) ולא n: מהאיבר הראשון לאיבר ה-n עושים n − 1 צעדים.

מעבר בין שני איברים

an = ak + (n − k) d
דוגמה a4 = 11 , d = 5 a9 = 11 + 5 · 5 = 36
חוסך את הדרך דרך a1 כשנתונים שני איברים באמצע הסדרה.

איבר אמצעי – שני מקרים שונים

אותו שם, שני דברים שונים לגמרי. חשוב לזהות באיזה מקרה מדובר.

מקרה 1: שלושה איברים עוקבים

האמצעי הוא הממוצע של שכניוan = an−1 + an+12
דוגמה 4 , x , 12 הם איברים עוקבים בסדרה חשבונית x = 4 + 122 = 8
נכון תמיד, בכל סדרה חשבונית, לכל שלישייה עוקבת. זה גם הכלי להוכיח שסדרה חשבונית.

מקרה 2: איבר אמצעי בסדרה סופית

רק כשמספר האיברים אי-זוגיaאמצעי = a1 + an2
ומכאן הסכוםSn = n · aאמצעי
דוגמה בסדרה בת 7 איברים האמצעי הוא a4 אם a4 = 10 אז S7 = 70
במספר זוגי של איברים אין איבר אמצעי בכלל – אז משתמשים בנוסחת הסכום הרגילה.

נוסחאות הסכום

שתי נוסחאות לאותו דבר – בוחרים לפי מה שנתון.

כשידוע האיבר האחרון

Sn = (a1 + an) · n2
דוגמה a1 = 3 , a10 = 48 S10 = (3 + 48) · 102 = 255
בעצם ממוצע של הראשון והאחרון, כפול מספר האיברים.

כשידוע ההפרש

Sn = [ 2a1 + (n − 1) d ] · n2
דוגמה a1 = 3 , d = 5 , n = 10 S10 = [ 6 + 45 ] · 102 = 255
מתקבלת מהנוסחה הראשונה אחרי הצבת an = a1 + (n − 1)d – שתיהן אותה נוסחה.

מנוסחת הסכום לאיבר הכללי

an = Sn − Sn−1
והאיבר הראשוןa1 = S1
דוגמה Sn = n2 + 2n Sn−1 = (n − 1)2 + 2(n − 1) = n2 − 1 an = (n2 + 2n) − (n2 − 1) = 2n + 1
בדיקה: a1 = S1 = 3, ואכן 2 · 1 + 1 = 3.

סדרה הנדסית

מכפילים כל פעם באותו מספר. המנה הקבועה נקראת q.

הגדרה ואיבר כללי

המנה בין כל שני איברים עוקבים קבועהan+1an = q
איבר כלליan = a1 · qn−1
דוגמה 2 , 6 , 18 , 54 , … כלומר q = 3 a5 = 2 · 34 = 162

כיצד מוכיחים שהסדרה הנדסית

  • מחשבים את an+1 / an ומראים שהתוצאה קבועה ואינה תלויה ב-n.
  • דרך שנייה – האיבר האמצעי: an2 = an−1 · an+1.
דוגמה 3 , x , 27 איברים עוקבים בסדרה הנדסית x2 = 81 → x = 9 או x = −9
שימו לב: בהנדסית מקבלים שני פתרונות אפשריים, בניגוד לחשבונית שבה יש פתרון יחיד.

המגבלות על q

  • q ≠ 0 – אחרת מהאיבר השני והלאה כל הסדרה מתאפסת, ולא ניתן לחלק.
  • a1 ≠ 0 – מאותה סיבה, אף איבר בסדרה הנדסית אינו יכול להיות אפס.
  • q = 1 מותר, אבל אז הסדרה קבועה ונוסחת הסכום הרגילה לא עובדת (מכנה אפס).
כשמקבלים בפתרון q = 0 או איבר שווה לאפס – זו אינדיקציה לפסול את הפתרון.

נוסחת הסכום

Sn = a1 · qn − 1q − 1
אותה נוסחה, נוחה כש-q < 1Sn = a1 · 1 − qn1 − q
דוגמה a1 = 2 , q = 3 , n = 5 S5 = 2 · 243 − 12 = 242
תקף רק כש-q ≠ 1. אם q = 1 כל האיברים שווים ולכן Sn = n · a1.

מתי הסדרה עולה, יורדת או מחליפה סימן

חשוב מאוד: התשובה תלויה גם ב-q וגם בסימן של a1 – אף פעם ב-q לבד.

הערך של q a1 > 0 a1 < 0
q > 1 עולהכל האיברים חיוביים וגדלים יורדתכל האיברים שליליים ומתרחקים מאפס
0 < q < 1 יורדתחיובית ושואפת לאפס עולהשלילית ומתקרבת לאפס
q = 1 סדרה קבועה – כל האיברים שווים ל-a1
q < 0 מחליפה סימןכל איבר בסימן הפוך לקודמו – הסדרה אינה עולה ואינה יורדת
בדיקה מהירה במבחן: כותבים שלושה איברים ראשונים בפועל ורואים מה קורה – זה מונע כמעט כל טעות בסעיף הזה.

סדרה הנדסית אינסופית

כשהאיברים הולכים וקטנים מספיק מהר, אפשר לסכם אינסוף איברים ולקבל מספר סופי.

תנאי ההתכנסות

| q | < 1
כלומר−1 < q < 1 , q ≠ 0
  • רק אז qn שואף לאפס והסכום מתייצב על מספר סופי.
  • אם |q| ≥ 1 הסכום גדל ללא גבול – הסדרה מתבדרת ואין לה סכום.
בשאלות עם פרמטר, תנאי ההתכנסות הוא בדרך כלל אי-השוויון שממנו מוצאים את תחום הפרמטר.

נוסחת הסכום

S = a11 − q
דוגמה 8 , 4 , 2 , 1 , … כלומר q = 0.5 S = 81 − 0.5 = 16
זו נוסחת הסכום הרגילה כאשר qn → 0. לכן חובה לבדוק קודם את תנאי ההתכנסות.