טריגונומטריה במשולש

מהיחסים במשולש ישר זווית ועד משפטי הסינוסים והקוסינוסים – מתי משתמשים בכל אחד.

נוסחאות שטח משולש

בוחרים לפי מה שנתון: גובה, או שתי צלעות עם הזווית שביניהן.

בסיס וגובה

S = בסיס × גובה2
הגובה חייב להיות מאונך לבסיס שבחרתם – לא לצלע אחרת.

שתי צלעות והזווית שביניהן

S = 12 · b · c · sin A
דוגמה b = 6 , c = 8 , A = 30° S = 0.5 · 6 · 8 · sin 30° = 12
הזווית חייבת להיות כלואה בין שתי הצלעות. גם בזווית קהה הנוסחה עובדת, כי הסינוס שלה חיובי.

מקרים פרטיים

משולש ישר זוויתS = מכפלת הניצבים2
משולש שווה צלעות בעל צלע aS = a2√34
שניהם נובעים מהנוסחה הכללית: ישר זווית עם sin 90° = 1, ושווה צלעות עם sin 60° = √3/2.

משפט הסינוסים

מקשר בין כל צלע לזווית שמולה. עובד בכל משולש, לא רק בישר זווית.

הנוסחה

asin A = bsin B = csin C
כל צלע מסומנת באות הקטנה של הזווית שמולה: a מול A, וכן הלאה.

מתי משתמשים

  • נתונות שתי זוויות וצלע אחת – מוצאים כל צלע אחרת.
  • נתונות שתי צלעות וזווית שמול אחת מהן – מוצאים את הזווית השנייה.
דוגמה A = 40° , B = 60° , a = 8 b = 8 · sin 60°sin 40° ≈ 10.8
משתמשים תמיד בזוג שלם אחד (צלע והזווית שמולה) ובאיבר אחד חסר – שלושה נתונים ונעלם אחד.

שימו לב

  • כשמחפשים זווית לפי סינוס – ייתכנו שני פתרונות, כי sin(180 − α) = sin α.
  • בודקים את שתי האפשרויות מול הנתון שסכום הזוויות במשולש הוא 180°.
  • מול הצלע הגדולה יותר יושבת תמיד הזווית הגדולה יותר – בדיקת היגיון מהירה.

משפט הקוסינוסים

ההרחבה של משפט פיתגורס לכל משולש – עם תיקון שתלוי בזווית.

הנוסחה

a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A
כשמחפשים זוויתcos A = b2 + c2 − a22bc
הצלע שבאגף שמאל היא זו שמול הזווית שבנוסחה. אפשר לכתוב את המשפט גם עבור b או c.

מתי משתמשים

  • נתונות שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן – מוצאים את הצלע השלישית.
  • נתונות שלוש הצלעות – מוצאים כל זווית.
דוגמה b = 7 , c = 5 , A = 60° a2 = 49 + 25 − 2 · 7 · 5 · 0.5 = 39 a = √39 ≈ 6.24

הקשר לפיתגורס

  • אם A = 90° אז cos A = 0, והנוסחה הופכת ל-a2 = b2 + c2.
  • בזווית חדה cos A > 0 – הצלע שמולה קצרה יותר מאשר בפיתגורס.
  • בזווית קהה cos A < 0 – מחסרים מספר שלילי, כלומר מוסיפים, והצלע ארוכה יותר.
קיבלתם cos שלילי? זה לא שגיאה – זו פשוט זווית קהה.

איזה כלי לבחור

שלוש שאלות קצרות שמובילות לכלי הנכון.

יש זווית ישרה?

  • כן – sin, cos, tan ופיתגורס. הכי מהיר.
  • לא – ממשיכים לשאלה הבאה.

יש זוג שלם של צלע וזווית שמולה?

  • כן – משפט הסינוסים.
  • לא – משפט הקוסינוסים.
שלוש צלעות בלי אף זווית, או שתי צלעות עם הזווית שביניהן – תמיד קוסינוסים.